1962 yılında Bursa’nın Özlüce Mahallesi’nde doğan Mustafa Bozbey, ilkokul eğitimini Özlüce İlkokulu’nda, orta ve lise eğitimini ise Bursa Cumhuriyet Lisesi’nde tamamladı. Anadolu Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü’nden 1984 yılında mezun olan Bozbey, aynı üniversitede yüksek lisans yaparak Yüksek İnşaat Mühendisi ünvanını aldı.
Meslek hayatına 1986 yılında başlayan Mustafa Bozbey, 1989’da Bozbey İnşaat Sanayi ve Ticaret Limited Şirketi’ni kurarak çalışmalarını kendi şirketinde sürdürdü. Birçok toplu konut projesine imza atan Bozbey, 18 Nisan 1999 tarihinde Demokratik Sol Parti’nin Nilüfer Belediye Başkan Adayı olarak girdiği seçimi kazanarak Nilüfer’in üçüncü belediye başkanı oldu. Başkan seçilmesinin ardından şirketteki görev ve yetkilerini devretti.
Yeni yapılaşmakta olan Nilüfer, Bozbey yönetiminde kısa sürede çağdaş, planlı ve yaşam kalitesi yüksek bir kent kimliği kazandı. Başarılı bir dönemin ardından Bozbey, 28 Mart 2004 yerel seçimlerinde bu kez Cumhuriyet Halk Partisi’nden aday oldu ve yeniden seçimi kazanarak Bursa’nın merkez ilçelerinde üst üste iki dönem seçilen ilk belediye başkanı ünvanını aldı. Mustafa Bozbey 29 Mart 2009 seçimlerinde de kazanarak bu başarıyı üç döneme çıkardı.
Bu üç dönem süresinde Nilüfer’in cazibesi, örnek uygulamalar ve yenilikçi belediyecilik anlayışıyla giderek arttı; ilçe ulusal ve uluslararası ölçekte tanınır hale geldi. 2014 yerel seçimlerinde yeniden CHP’nin adayı olan Bozbey, seçimi açık farkla kazanarak üst üste dört dönem seçim kazanan belediye başkanı oldu. 20 yıllık yönetim süresince ortak akıl ve katılımcılık ilkesiyle yürüttüğü çalışmalar sayesinde Nilüfer, İnsani Gelişme Raporları’nda sürekli yükselerek Türkiye’nin en gelişmiş ilçeleri arasında yer aldı.
Kentlerin katılımcılıkla, bilimle ve kentlilerle birlikte yönetilmesi gerektiğine inanan Bozbey, 2019 yerel seçimlerinde CHP’nin Bursa Büyükşehir Belediye Başkan Adayı oldu. Geçerli oyların yüzde 47,03’ünü alarak partisinin tarihindeki en yüksek oya ulaştı ancak az bir farkla ikinci sırada yer aldı.
2024 yerel seçimlerinde yeniden CHP’nin Bursa Büyükşehir Belediye Başkan Adayı gösterilen Mustafa Bozbey, oyların yüzde 47,62’sini alarak büyük bir zafer kazandı. Mustafa Bozbey, Bursa Büyükşehir Belediyesi’nin 7. Başkanı olarak görevine devam etmektedir.
2014 yılında hayatını Seden Bozbey ile birleştiren Mustafa Bozbey, bir kız ve iki torun sahibidir.